Bac+2 |
Titre: application linéaire
Texte Question: soient E kev de dim fini f un endomorphisme (element de L(E)) démontrer qu’il existe p tel que E soit somme directe de ker(f^p) et Im(f^p) merci |
E=Ker(f)+Im(f)On Im(f^p) inclut dans Im(f) Donc Im(f^p) inclut dans Im(f). Quelque soit y appartenant à Imf, il existe x tel que y = f(x). Or on peut écrire x = u + v avec u appartenant à Imf et v appartenant à ker f. Puisque u appartient à Imf, on peut écrire u = f(a) avec a appartenant à E. On a alors y = f(f(a) + v) = f2(a) + f(v) = f2(a) appartenant à Imf^2. Ainsi Imf est inclus dans Imf2 . Donc imf est inclus dans im(f^p). L’inclusion Imf + ker f inclus dans E est toujours vraie. Inversement, soit x appartenant à E. f(x) 2 Imf = Imf2 donc il existe a appartenant à E tel que f(x) = f^p(a). Posons u = f(a) et v = x − u. Clairement x = u + v, u appartenant à Imf. De plus f(v) = f(x) − f(u) = f(x) − f^p(a) = 0 donc v appartient à ker f. Donc il existe bien un p tel que E = Imf^p + ker f^p. | Approbation le 26/09/2011 08:49:10 |