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Besoin d'aide en maths ? SOS MATH est un site d'aide en mathematiques du CE1 à Bac+2...Résolution de tous vos problèmes de maths Problème de mathématiques
Problème de mathématiques Exercice de mathématiques
QUESTION N° 1327
NiveauTexte QuestionRéponseStatut
Bac+2 Titre: application linéaire

Texte Question: soient E kev de dim fini f un endomorphisme (element de L(E))
démontrer qu’il existe p tel que
E soit somme directe de ker(f^p) et
Im(f^p) merci
E=Ker(f)+Im(f)On Im(f^p) inclut dans Im(f)
Donc Im(f^p) inclut dans Im(f).

Quelque soit y appartenant à Imf, il existe x tel que y = f(x). Or on peut écrire x = u + v avec u appartenant à Imf et
v appartenant à ker f.
Puisque u appartient à Imf, on peut écrire u = f(a) avec a appartenant à E. On a alors
y = f(f(a) + v) = f2(a) + f(v) = f2(a) appartenant à Imf^2. Ainsi Imf est inclus dans Imf2 .

Donc imf est inclus dans im(f^p).

L’inclusion Imf + ker f inclus dans E est toujours vraie.
Inversement, soit x appartenant à E. f(x) 2 Imf = Imf2 donc il existe a appartenant à E tel que f(x) = f^p(a).
Posons u = f(a) et v = x − u.
Clairement x = u + v, u appartenant à Imf. De plus f(v) = f(x) − f(u) = f(x) − f^p(a) = 0
donc v appartient à ker f.
Donc il existe bien un p tel que E = Imf^p + ker f^p.
Approbation le 26/09/2011 08:49:10


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