| Bac+2 |
Titre: application linéaire
Texte Question: soient E kev de dim fini f un endomorphisme (element de L(E))
démontrer qu’il existe p tel que
E soit somme directe de ker(f^p) et
Im(f^p) merci |
E=Ker(f)+Im(f)On Im(f^p) inclut dans Im(f)
Donc Im(f^p) inclut dans Im(f).
Quelque soit y appartenant à Imf, il existe x tel que y = f(x). Or on peut écrire x = u + v avec u appartenant à Imf et
v appartenant à ker f.
Puisque u appartient à Imf, on peut écrire u = f(a) avec a appartenant à E. On a alors
y = f(f(a) + v) = f2(a) + f(v) = f2(a) appartenant à Imf^2. Ainsi Imf est inclus dans Imf2 .
Donc imf est inclus dans im(f^p).
L’inclusion Imf + ker f inclus dans E est toujours vraie.
Inversement, soit x appartenant à E. f(x) 2 Imf = Imf2 donc il existe a appartenant à E tel que f(x) = f^p(a).
Posons u = f(a) et v = x − u.
Clairement x = u + v, u appartenant à Imf. De plus f(v) = f(x) − f(u) = f(x) − f^p(a) = 0
donc v appartient à ker f.
Donc il existe bien un p tel que E = Imf^p + ker f^p.
| Approbation le 26/09/2011 08:49:10 |
