Bac+2 |
Titre: comparaison des moyennes
Texte Question: 1) Définir les moyennes arithmétiques, géométriques et harmoniques de 2 nombres positifs 2)Montrer que la moyenne géométrique de 2 nombres positifs est inférieure ou égale à la moyenne arithmétique 3) Qu’en est-il de la moyenne harmonique de 2 nombres ? |
La moyenne arithmétique de 2 nombres a1 et a2 est : a=(a1+a2)/2 La moyenne géométrique de 2 nombres g1 et g2 positifs est g=racine-carree(g1*g2) La moyenne harmonique de 2 nombres h1 et h2 est : 1/h=1/h1 + 1/h2 2) (a-b)² >= 0 Donc a²+b²-2ab >=0 Donc a²+b²+2ab >= 4ab Donc (a+b)² > 4ab Donc a+b > 2 racine(ab) Donc racine(ab)< (a+b)/2 Donc la moyenne géométrique de a et b est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique 3) 1/h=1/a+1/b Donc 1/h=a+b/ab Donc h=ab/a+b On sait que racine(ab) <= (a+b)/2 Donc h <= (a+b)²/4/(a+b) Donc h <= (a+b)/4= (moyenne arithmétique)/2 | Approbation le 02/10/2012 17:05:31 |