| Bac+2 |
Titre: comparaison des moyennes
Texte Question: 1) Définir les moyennes arithmétiques, géométriques et harmoniques de 2 nombres positifs
2)Montrer que la moyenne géométrique de 2 nombres positifs est inférieure ou égale à la moyenne arithmétique
3) Qu’en est-il de la moyenne harmonique de 2 nombres ? |
La moyenne arithmétique de 2 nombres a1 et a2 est :
a=(a1+a2)/2
La moyenne géométrique de 2 nombres g1 et g2 positifs est
g=racine-carree(g1*g2)
La moyenne harmonique de 2 nombres h1 et h2 est :
1/h=1/h1 + 1/h2
2) (a-b)² >= 0
Donc a²+b²-2ab >=0
Donc a²+b²+2ab >= 4ab
Donc (a+b)² > 4ab
Donc a+b > 2 racine(ab)
Donc racine(ab)< (a+b)/2
Donc la moyenne géométrique de a et b est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique
3) 1/h=1/a+1/b
Donc 1/h=a+b/ab
Donc h=ab/a+b
On sait que racine(ab) <= (a+b)/2
Donc h <= (a+b)²/4/(a+b)
Donc h <= (a+b)/4= (moyenne arithmétique)/2
| Approbation le 02/10/2012 17:05:31 |
