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Besoin d'aide en maths ? SOS MATH est un site d'aide en mathematiques du CE1 à Bac+2...Résolution de tous vos problèmes de maths Problème de mathématiques
Problème de mathématiques Exercice de mathématiques
QUESTION N° 1845
NiveauTexte QuestionRéponseStatut
Terminale Titre: Convergence d’une suite définie par récurren

Texte Question: Bonjour, je suis en terminale S.
J’ai un exercice à faire.
J’ai commencé, et je le trouve assez dense, donc je m’y perds un peu. Pourriez-vous m’aider à y voir plus clair ?
Merci d’avance à ceux qui m’aideront !

On considère une suite (Un) définie sur N par : Uo = 30/11 et Un+1 = (Un-2)² + 2

1)-
a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 2 < ou égal à Un < ou égal à 3.
b) Démontrer que pour tout entier naturel n, Un+1 - Un = (Un - 2)(Un - 3).
c) Démontrer que la suite (Un) est décroissante.
d) Démontrer que la suite (Un) est convergente.

Dans la suite on notera "l" la suite (Un).

2)-
a) Écrire un algorithme qui permet de déterminer la valeur n à partir de laquelle Un < ou égal à 2,01.
b) Programmer cet algorithme sur la calculatrice et déterminer la valeur de n.
c) Déterminer désormais n de manière à ce que Un < ou égal à 2,000001 en indiquant la modification de l’algorithme?
d) Que peut-on conjecturer quand à la valeur de "l" . Justifier.

voici mon travail :

a) Par récurrence :
2 < U0 < 3
on suppose
2 < Un < 3
et on montre 2 < Un+1 < 3 c’est bien ça?

b) (Un-2)² + 2 - Un = ......

c) Un-2 > 0

et Un-3 < 0 donc ....

d) (Un) décroissante et minorée ....
(j’ai du mal pur les calculs)

après pour l’algorithme j’ai trouvé :
1 Variables: N entier; A réel

2 Entrée
3 Affecter 1 à N
4 Affecter 2 à A

5 Traitement:
6 Tant que A < 7,5
7 Affecter à A la valeur 3/4 * A + 2
8 Affecter à N la valeur N+1
9 Fin tant que

10 Sortie:
11 Afficher N

a) Il faut faire cette demonstration par recurrence.

La propriété est vrai au rang 0 puisque 2 <= 30/11 <= 3

Supposons que cela est vrai rang n, et essayons de montrer que c’est vrai au rang n+1.

2 <= Un <=3
2-2 <= Un - 2 <= 3-2
Donc 0 <= Un - 2 <= 1

Donc 0² <= (Un -2 )²<= 1²

Donc 0 <= (Un-2)² <=1

0+2 <= (Un-2)² + 2 <= 1+2

Donc 2 <= (Un-2)² + 2 <= 3

Donc 2 <= Un+1 <= 3

cqfd

Approbation le 06/10/2012 17:29:13


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