Terminale |
Titre: Convergence d’une suite définie par récurren
Texte Question: Bonjour, je suis en terminale S. J’ai un exercice à faire. J’ai commencé, et je le trouve assez dense, donc je m’y perds un peu. Pourriez-vous m’aider à y voir plus clair ? Merci d’avance à ceux qui m’aideront ! On considère une suite (Un) définie sur N par : Uo = 30/11 et Un+1 = (Un-2)² + 2 1)- a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 2 < ou égal à Un < ou égal à 3. b) Démontrer que pour tout entier naturel n, Un+1 - Un = (Un - 2)(Un - 3). c) Démontrer que la suite (Un) est décroissante. d) Démontrer que la suite (Un) est convergente. Dans la suite on notera "l" la suite (Un). 2)- a) Écrire un algorithme qui permet de déterminer la valeur n à partir de laquelle Un < ou égal à 2,01. b) Programmer cet algorithme sur la calculatrice et déterminer la valeur de n. c) Déterminer désormais n de manière à ce que Un < ou égal à 2,000001 en indiquant la modification de l’algorithme? d) Que peut-on conjecturer quand à la valeur de "l" . Justifier. voici mon travail : a) Par récurrence : 2 < U0 < 3 on suppose 2 < Un < 3 et on montre 2 < Un+1 < 3 c’est bien ça? b) (Un-2)² + 2 - Un = ...... c) Un-2 > 0 et Un-3 < 0 donc .... d) (Un) décroissante et minorée .... (j’ai du mal pur les calculs) après pour l’algorithme j’ai trouvé : 1 Variables: N entier; A réel 2 Entrée 3 Affecter 1 à N 4 Affecter 2 à A 5 Traitement: 6 Tant que A < 7,5 7 Affecter à A la valeur 3/4 * A + 2 8 Affecter à N la valeur N+1 9 Fin tant que 10 Sortie: 11 Afficher N |
a) Il faut faire cette demonstration par recurrence. La propriété est vrai au rang 0 puisque 2 <= 30/11 <= 3 Supposons que cela est vrai rang n, et essayons de montrer que c’est vrai au rang n+1. 2 <= Un <=3 2-2 <= Un - 2 <= 3-2 Donc 0 <= Un - 2 <= 1 Donc 0² <= (Un -2 )²<= 1² Donc 0 <= (Un-2)² <=1 0+2 <= (Un-2)² + 2 <= 1+2 Donc 2 <= (Un-2)² + 2 <= 3 Donc 2 <= Un+1 <= 3 cqfd | Approbation le 06/10/2012 17:29:13 |