| Bac+1 |
Titre: nombres premiers
Texte Question: Soit n un entier naturel.
1) Démontrer que (4^n)-1 est divisible par 3.
2) Supposons maintenant que n > 2 et (2^n)+1 premier.
Montrer que (2^n)-1 est un nombre composé. |
1)
4 = 1 modulo[3]
Donc 4^n = 1^n modulo[3]
Donc 4^n = 1 modulo[3]
Donc 4^n-1=0 modulo[3]
Donc 4^n-1 est divisible par 3.
2) 4^n - 1 est divisible par 3, donc (2^n - 1)(2^n + 1) est divisible par 3.
On sait que 2^n - 1 est premier, donc forcément 2^n-1 est divisible par 3, donc est composé ( car > 1 ).
| Approbation le 21/10/2012 09:46:43 |
