| Terminale |
Titre: périmètres polygones
Texte Question: Bonjour,
J’aurai besoin d’aide pour un exercice qui est le suivant :
On considère un triangle équilatéral P1 de côté 1. Chaque côté est ensuite divisé en trois parties égales et on construit à partir du segment situé au milieu de chacun des côtés un nouveau triangle équilatéral à l’extérieur de P1. On obtient ainsi un polygone P2. En procédant de la même façon avec le polygone P2, on obtient le polygone P3, puis en réitérant le processus on construit une suite de polygones Pn.
Montrer que le périmètre Pn tend vers +infini alors que son aire tend vers (2 racine de 3 )/(5)
Attachement question:  |
Par calcul, on voit que le perimetre du polygone Pn est égal à
P(n)=3 x (4^(n-1))/(3^(n-1))
Quand n tend vers l’infini Pn tend vers l’infini
Le calcul de l’aire + a= est la somme des termes de la suite géométrique u(n)=a (4/9)^n
Avec a = cos(pi/6) x 1^2=cos(pi/6)=racine(3)/2
La somme des u(n)=(1-(4/9)^(n+1))/(1-(4/9)
Quand n tend vers l’infini u(n) tend vers 9/5
Donc Aire=(9/5-1) x racine(3)/2 = 4 x racine (3)/10=2racine(3)/5
| Approbation le 14/10/2012 17:39:45 |
