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Titre: theoreme de la bijection
Texte Question: pouvez vous m’aider soit la fonction définie sur I =(-2;2) par f(x)=x3/3-x2-3x+1 calculer sa dérivée f’(x) résoudre f’(x)=0 et trouver les deux solutions x1 et x2 factoriser f’(x) avec f’(x)=(x-x1)(x-x2) etudier le signe de f’(x) sur I et récapituler les résultats dans un tableau de signe en déduire le tableau de variation de f ( sans oublier les valeurs remarquables de f |
La dérivée de f(x) f’(x)=x²-2x-3 =(x+1)(x-3). Cette dérivée s’annule en x=-1 et x=3 La fonction est définie sur [-2;2], donc on ne prend pas en compte la racine 3 D’après le cours sur les polynomes du second degré, le polynome x²-2x-3 sera positif à l’extérieur des racines. Donc si -2 <= x <= -1 , f’(x) >= 0 , donc f croissante sur [-2,-1] si -1 <= x <= 2 , f’(x) <= 0, donc f décroissante sur [-1,2] f(-2)=-8/3-4+6+1=-8/3+3=1/3 f(-1)=-1/3-1+3+1=8/3 f(2)=8/3-4-6+1=-19/3 D’après le théorème des valeurs intermédiaires, f(-2) > 0 et f(-1) > 0 et f croissante sur [-2,-1], donc f(x) > 0 sur cet intervalle. D’après le corollaire des valeurs intermediaires, f(-1) > 0 et f(2) < 0 et f décroissante sur [-1,2], donc il existe une seule valeur a comprise en -1 et 2 telle que f(a)=0 0,3 < a < 0,31 ( avec la calculette ) Donc si -2 <= x <= a , f(x) >= 0 si a <= x <= 2 , f(x) <= 0 | Approbation le 21/11/2012 08:33:26 |