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Problème de mathématiques Exercice de mathématiques
QUESTION N° 2028
NiveauTexte QuestionRéponseStatut
Terminale Titre: theoreme de la bijection

Texte Question: pouvez vous m’aider

soit la fonction définie sur I =(-2;2) par f(x)=x3/3-x2-3x+1 calculer sa dérivée f’(x) résoudre f’(x)=0 et trouver les deux solutions x1 et x2
factoriser f’(x) avec f’(x)=(x-x1)(x-x2)
etudier le signe de f’(x) sur I et récapituler les résultats dans un tableau de signe
en déduire le tableau de variation de f ( sans oublier les valeurs remarquables de f
La dérivée de f(x)

f’(x)=x²-2x-3 =(x+1)(x-3).
Cette dérivée s’annule en x=-1 et x=3
La fonction est définie sur [-2;2], donc on ne prend pas en compte la racine 3

D’après le cours sur les polynomes du second degré, le polynome x²-2x-3 sera positif à l’extérieur des racines.

Donc
si -2 <= x <= -1 , f’(x) >= 0 , donc f croissante sur [-2,-1]
si -1 <= x <= 2 , f’(x) <= 0, donc f décroissante sur [-1,2]


f(-2)=-8/3-4+6+1=-8/3+3=1/3
f(-1)=-1/3-1+3+1=8/3
f(2)=8/3-4-6+1=-19/3

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, f(-2) > 0 et f(-1) > 0 et f croissante sur [-2,-1], donc f(x) > 0 sur cet intervalle.

D’après le corollaire des valeurs intermediaires, f(-1) > 0 et f(2) < 0 et f décroissante sur [-1,2], donc il existe une seule valeur a comprise en -1 et 2 telle que f(a)=0

0,3 < a < 0,31 ( avec la calculette )

Donc
si -2 <= x <= a , f(x) >= 0
si a <= x <= 2 , f(x) <= 0
Approbation le 21/11/2012 08:33:26


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