Le calcul littéral

Calculer avec des lettres : réduire une expression, développer avec la distributivité, substituer une valeur. Parent et enfant, exercices corrigés.

Leçon vérifiée et rédigée par Nadia Lefèvre · niveaux : 5e, 4e, 3e

Pour le parent

Comment accompagner votre enfant

Le calcul littéral, c'est calculer avec des lettres qui représentent des nombres inconnus ou variables. 3x signifie 3 × x. C'est la porte d'entrée vers les équations et les fonctions : un cap décisif au collège.

Trois gestes de base. Réduire : regrouper ce qui se ressemble (3x + 5x = 8x, mais 3x + 2 ne se réduit pas, car x et un nombre ne sont pas de même nature). Développer avec la distributivité (3(x + 4) = 3x + 12). Substituer : remplacer la lettre par sa valeur.

Insistez sur le sens de 8x : c'est 8 × x. Et x + x = 2x, alors que x × x = x². La confusion entre les deux est très fréquente.

Pour l'enfant

Explication simple

Une lettre, comme x, remplace un nombre qu'on ne connaît pas encore. 3x veut dire 3 × x.

Tu peux additionner ce qui se ressemble : 3x + 5x = 8x (comme 3 pommes + 5 pommes = 8 pommes). Mais 3x + 2 reste tel quel, car x et un nombre ne sont pas pareils.

On regarde ensemble

Deux exemples résolus

Exemple 1

Réduire une expression

Réduire 3x + 2 + 5x.

Je regroupe les termes en x : 3x + 5x = 8x.
Le nombre 2 reste seul.

Résultat3x + 2 + 5x = 8x + 2

Exemple 2

Développer

Développer 3(x + 4).

Distributivité : je multiplie 3 par chaque terme.
3 × x = 3x et 3 × 4 = 12.

Résultat3(x + 4) = 3x + 12

À toi de jouer

27 exercices corrigés

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1Réduire 7a − 2a + 4.
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7a − 2a = 5a, et +4 reste. Résultat : 5a + 4.
2Développer 5(2x − 3).
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5 × 2x = 10x et 5 × (−3) = −15. Résultat : 10x − 15.
3Calculer 2x + 3 pour x = 4.
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Je remplace x par 4 : 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11.
4Réduire 4b + 3b − b + 2.
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4b + 3b − b = 6b, et +2 reste. Résultat : 6b + 2.
5Développer 2(3x + 1).
Voir la correction
2 × 3x = 6x et 2 × 1 = 2. Résultat : 6x + 2.
6Développer 4(2x − 5).
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4 × 2x = 8x et 4 × (−5) = −20. Résultat : 8x − 20.
7Calculer 3x² − 2x + 1 pour x = 3.
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3 × 3² − 2 × 3 + 1 = 3 × 9 − 6 + 1 = 27 − 6 + 1 = 22.
8Réduire 5x + 3y − 2x + y.
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5x − 2x = 3x et 3y + y = 4y. Résultat : 3x + 4y.
9Vrai ou faux : 3(x + 2) = 3x + 2.
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Faux. On applique la distributivité : 3 × x = 3x et 3 × 2 = 6, donc 3(x + 2) = 3x + 6, pas 3x + 2.
10Développer et réduire 2(x + 3) + 4(x − 1).
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2(x + 3) = 2x + 6 et 4(x − 1) = 4x − 4. En additionnant : 2x + 6 + 4x − 4 = 6x + 2.
11Factoriser 6x + 9.
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Le facteur commun est 3. 6x + 9 = 3 × 2x + 3 × 3 = 3(2x + 3). Vérif : 3 × (2x + 3) = 6x + 9. ✔
12Un jardin a une longueur de (2x + 3) m et une largeur de 5 m. Exprimer son périmètre en fonction de x, puis calculer ce périmètre pour x = 4.
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Périmètre = 2 × (2x + 3 + 5) = 2 × (2x + 8) = 4x + 16. Pour x = 4 : 4 × 4 + 16 = 16 + 16 = 32 m.
13Réduire 9x − 4 + 2x + 7.
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On regroupe les termes en x : 9x + 2x = 11x. On regroupe les nombres : −4 + 7 = 3. Résultat : 11x + 3.
14Développer 6(x − 2).
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6 × x = 6x et 6 × (−2) = −12. Résultat : 6x − 12.
15Calculer 5x − 4 pour x = 2.
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Je remplace x par 2 : 5 × 2 − 4 = 10 − 4 = 6.
16Développer 3(4x + 7).
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3 × 4x = 12x et 3 × 7 = 21. Résultat : 12x + 21.
17Réduire 8a − 3a + 2b − b.
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8a − 3a = 5a et 2b − b = b. Résultat : 5a + b.
18Vrai ou faux : 5(x − 2) = 5x − 10.
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Vrai. Distributivité : 5 × x = 5x et 5 × (−2) = −10, donc 5(x − 2) = 5x − 10. ✔
19Développer et réduire 3(x + 5) − 2(x − 1).
Voir la correction
3(x + 5) = 3x + 15 et 2(x − 1) = 2x − 2. En soustrayant : 3x + 15 − 2x + 2 = x + 17.
20Factoriser 10x + 15.
Voir la correction
Le facteur commun est 5. 10x + 15 = 5 × 2x + 5 × 3 = 5(2x + 3). Vérif : 5 × (2x + 3) = 10x + 15. ✔
21Calculer x² + 3x − 1 pour x = 2.
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2² + 3 × 2 − 1 = 4 + 6 − 1 = 9.
22Réduire 4m − 2n + 3m + 5n.
Voir la correction
4m + 3m = 7m et −2n + 5n = 3n. Résultat : 7m + 3n.
23Développer 7(2x − 4).
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7 × 2x = 14x et 7 × (−4) = −28. Résultat : 14x − 28.
24Factoriser 12a − 8.
Voir la correction
Le facteur commun est 4. 12a − 8 = 4 × 3a − 4 × 2 = 4(3a − 2). Vérif : 4 × (3a − 2) = 12a − 8. ✔
25QCM : Quelle expression est égale à 2(x + 3) + x ? A : 3x + 3, B : 3x + 6, C : 2x + 6.
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On développe : 2(x + 3) = 2x + 6, puis 2x + 6 + x = 3x + 6. Réponse B.
26Une piscine rectangulaire a une longueur de (3x + 1) m et une largeur de 4 m. Exprimer son aire en fonction de x, puis calculer cette aire pour x = 5.
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Aire = 4 × (3x + 1) = 12x + 4. Pour x = 5 : 12 × 5 + 4 = 60 + 4 = 64 m².
27Développer et réduire 5(x − 2) − 3(x + 1).
Voir la correction
5(x − 2) = 5x − 10 et 3(x + 1) = 3x + 3. En soustrayant : 5x − 10 − 3x − 3 = 2x − 13.

Questions fréquentes

On vous répond

Que veut dire 3x ?

3x est une écriture abrégée de 3 × x. On omet le signe de multiplication devant une lettre.

Pourquoi 3x + 2 ne se réduit-il pas ?

Parce que 3x (des x) et 2 (un nombre seul) ne sont pas de même nature : on ne peut additionner que des termes semblables.

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