Les dérivées
Comprendre la dérivée et calculer la dérivée d'un polynôme avec les formules de base. Méthode parent et enfant, exemples et exercices corrigés.
Leçon vérifiée et rédigée par Nadia Lefèvre · niveaux : 1re, Tle
Pour le parent
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La dérivée mesure la vitesse de variation d'une fonction : à quel rythme elle monte ou descend en un point. C'est l'outil central de l'analyse au lycée, utilisé ensuite pour étudier les variations et trouver les maximums.
On note la dérivée f' (« f prime »). La formule à mémoriser est celle de la puissance : la dérivée de xⁿ est n·xⁿ⁻¹. Ainsi la dérivée de x² est 2x, celle de x³ est 3x².
On dérive terme par terme : la dérivée d'une constante est 0, celle de ax est a. Le calcul est mécanique une fois les formules sues ; l'enjeu est la rigueur sur chaque terme.
Pour l'enfant
Explication simple
La dérivée dit si une courbe monte ou descend, et à quelle vitesse. On la note f'.
La règle de base : la dérivée de xⁿ est n·xⁿ⁻¹. Donc la dérivée de x² est 2x. Une constante (un nombre seul) a pour dérivée 0, et la dérivée de ax est a.
On regarde ensemble
Deux exemples résolus
Exemple 1
Dériver un carré
Soit f(x) = x². Calculer f'(x) puis f'(3).
- Dérivée de x² : 2x, donc f'(x) = 2x.
- f'(3) = 2 × 3.
Résultatf'(x) = 2x et f'(3) = 6
Exemple 2
Dériver un polynôme
Soit f(x) = 3x² − 5x + 2. Calculer f'(x) puis f'(1).
- Terme par terme : dérivée de 3x² est 6x, de −5x est −5, de 2 est 0.
- Donc f'(x) = 6x − 5, puis f'(1) = 6 × 1 − 5.
Résultatf'(x) = 6x − 5 et f'(1) = 1
À toi de jouer
25 exercices corrigés
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1Soit f(x) = x³. Calculer f'(x).
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Dérivée de xⁿ est n·xⁿ⁻¹, donc la dérivée de x³ est 3x². f'(x) = 3x².2Soit f(x) = 5x² + 2x. Calculer f'(x).
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Dérivée de 5x² est 10x, de 2x est 2. Donc f'(x) = 10x + 2.3Soit f(x) = 4x − 7. Calculer f'(x).
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Dérivée de 4x est 4, de −7 (constante) est 0. Donc f'(x) = 4.4Soit f(x) = 2x³ + x − 4. Calculer f'(x).
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Terme par terme : dérivée de 2x³ est 6x², de x est 1, de −4 (constante) est 0. Donc f'(x) = 6x² + 1.5Soit f(x) = x² − 3x + 1. Calculer f'(x) puis f'(2).
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Dérivée de x² est 2x, de −3x est −3, de 1 est 0. Donc f'(x) = 2x − 3. En x = 2 : f'(2) = 2 × 2 − 3 = 4 − 3 = 1.6Vrai ou faux ? La dérivée de f(x) = 7 est f'(x) = 7.
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Faux. La dérivée d'une constante est toujours 0. Donc f'(x) = 0.7Soit f(x) = −x² + 4x. Calculer f'(x), puis déterminer pour quelles valeurs de x la fonction est croissante.
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f'(x) = −2x + 4. La fonction est croissante quand f'(x) > 0, c'est-à-dire −2x + 4 > 0, soit x < 2. La fonction est donc croissante sur ]−∞ ; 2[.8La dérivée de f(x) = 3x² − 2x + 5 est : (A) 6x + 5 (B) 6x − 2 (C) 3x − 2
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Dérivée de 3x² est 6x, de −2x est −2, de 5 est 0. Donc f'(x) = 6x − 2. Réponse : (B).9Soit f(x) = (2x + 1)(x − 3). Calculer f'(x) en développant d'abord.
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On développe : f(x) = 2x² − 6x + x − 3 = 2x² − 5x − 3. On dérive terme à terme : dérivée de 2x² est 4x, de −5x est −5, de −3 est 0. Donc f'(x) = 4x − 5.10Soit f(x) = 4x³ − 6x² + 2. Compléter : f'(x) = ___ x² − ___ x.
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Dérivée de 4x³ est 12x², de −6x² est −12x, de 2 est 0. Donc f'(x) = 12x² − 12x. Les coefficients à compléter sont 12 et 12.11Soit f(x) = x² − 2x. Calculer la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse x = 3.
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La pente de la tangente en x = 3 est f'(3). f'(x) = 2x − 2, donc f'(3) = 2 × 3 − 2 = 6 − 2 = 4. La tangente a une pente de 4.12Soit f(x) = x³ − 3x. Calculer f'(x) et trouver les valeurs de x où f'(x) = 0.
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f'(x) = 3x² − 3. On résout 3x² − 3 = 0 : 3x² = 3, soit x² = 1, donc x = 1 ou x = −1. Ce sont les abscisses des extremums de la fonction.13Soit f(x) = 6x² − 3x + 1. Calculer f'(x).
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Dérivée de 6x² est 12x, de −3x est −3, de 1 (constante) est 0. Donc f'(x) = 12x − 3.14Soit f(x) = x⁴. Calculer f'(x).
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D'après la règle (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, la dérivée de x⁴ est 4x³. Donc f'(x) = 4x³.15Soit f(x) = −4x³ + 2x² − x + 5. Calculer f'(x).
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Terme par terme : dérivée de −4x³ est −12x², de 2x² est 4x, de −x est −1, de 5 est 0. Donc f'(x) = −12x² + 4x − 1.16Soit f(x) = x² + 6x + 9. Calculer f'(x), puis résoudre f'(x) = 0.
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f'(x) = 2x + 6. On résout 2x + 6 = 0 : 2x = −6, donc x = −3. La fonction admet un extremum en x = −3.17Vrai ou faux ? La dérivée de f(x) = x est f'(x) = 1.
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Vrai. La dérivée de x¹ est 1 × x⁰ = 1. Donc f'(x) = 1.18Soit f(x) = 5x² − 8. Quel est f'(2) ? (A) 20 (B) 10 (C) 12
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Dérivée de 5x² est 10x, de −8 est 0. Donc f'(x) = 10x. En x = 2 : f'(2) = 10 × 2 = 20. Réponse : (A).19Soit f(x) = 3x³ − 2x. Calculer f'(x) et f'(1).
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Dérivée de 3x³ est 9x², de −2x est −2. Donc f'(x) = 9x² − 2. En x = 1 : f'(1) = 9 × 1 − 2 = 7.20Soit f(x) = (x + 2)(x − 4). Calculer f'(x) en développant d'abord.
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On développe : f(x) = x² − 4x + 2x − 8 = x² − 2x − 8. Dérivée de x² est 2x, de −2x est −2, de −8 est 0. Donc f'(x) = 2x − 2.21Soit f(x) = x³ + x² − 5. Calculer f'(x) et f'(−1).
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Dérivée de x³ est 3x², de x² est 2x, de −5 est 0. Donc f'(x) = 3x² + 2x. En x = −1 : f'(−1) = 3 × 1 + 2 × (−1) = 3 − 2 = 1.22Soit f(x) = ax² + 3x − 2. On sait que f'(1) = 7. Déterminer la valeur de a. (À compléter.)
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f'(x) = 2ax + 3. On a f'(1) = 2a + 3 = 7, donc 2a = 4 et a = 2.23Soit f(x) = 2x² + 4x − 1. La fonction f est-elle croissante ou décroissante sur l'intervalle ]−∞ ; −1[ ?
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f'(x) = 4x + 4. Pour x < −1 : 4x < −4, donc 4x + 4 < 0. Comme f'(x) < 0 sur ]−∞ ; −1[, la fonction est décroissante sur cet intervalle.24Soit f(x) = x² − 4x + 3. Calculer f'(x) et donner les coordonnées du minimum de f.
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f'(x) = 2x − 4. On résout f'(x) = 0 : 2x − 4 = 0, donc x = 2. f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. Le minimum de f est atteint en x = 2, sa valeur minimale est −1.25La position d'un objet (en mètres) est f(t) = t³ − 6t² + 9t (t en secondes). Calculer f'(t) et trouver les instants où la vitesse est nulle.
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f'(t) = 3t² − 12t + 9. On résout 3t² − 12t + 9 = 0, soit t² − 4t + 3 = 0. Δ = 16 − 12 = 4. √4 = 2. t = (4 ± 2) ÷ 2, donc t = 3 s ou t = 1 s. La vitesse est nulle aux instants t = 1 et t = 3 secondes.
Questions fréquentes
On vous répond
Que représente la dérivée d'une fonction ?
Quelle est la dérivée de x² ?
Pour aller plus loin
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