Le second degré

Résoudre une équation du second degré avec le discriminant Δ. Méthode pas à pas pour le parent et l'élève, exemples et exercices corrigés.

Leçon vérifiée et rédigée par Nadia Lefèvre · niveaux : 1re

Pour le parent

Comment accompagner votre enfant

Une équation du second degré s'écrit ax² + bx + c = 0 (avec a non nul). Contrairement au premier degré, on ne peut pas isoler x directement : on utilise le discriminant.

Le discriminant est Δ = b² − 4ac. Son signe décide de tout : si Δ > 0, deux solutions ; si Δ = 0, une solution (double) ; si Δ < 0, aucune solution réelle.

Quand Δ ≥ 0, les solutions sont x = (−b ± √Δ) ÷ (2a). La méthode est très mécanique : identifier a, b, c, calculer Δ, conclure. Le soin sur les signes (surtout b) est essentiel.

Pour l'enfant

Explication simple

Une équation du second degré contient un x², par exemple x² − 5x + 6 = 0. Pour la résoudre, on calcule d'abord le discriminant Δ = b² − 4ac.

Si Δ est positif, il y a deux solutions données par x = (−b ± √Δ) ÷ (2a). Si Δ = 0, une seule solution ; si Δ est négatif, aucune solution réelle.

On regarde ensemble

Deux exemples résolus

Exemple 1

Deux solutions

Résoudre x² − 5x + 6 = 0.

Ici a = 1, b = −5, c = 6. Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1.
Δ > 0 : x = (5 ± √1) ÷ 2 = (5 ± 1) ÷ 2.

Résultatx = 3 ou x = 2 (vérif : 3 + 2 = 5, 3 × 2 = 6)

Exemple 2

Une solution double

Résoudre x² − 4x + 4 = 0.

a = 1, b = −4, c = 4. Δ = (−4)² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0.
Δ = 0 : une solution x = −b ÷ (2a) = 4 ÷ 2.

Résultatx = 2 (solution double)

À toi de jouer

25 exercices corrigés

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1Résoudre x² − 7x + 10 = 0.
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Δ = (−7)² − 4 × 1 × 10 = 49 − 40 = 9. √9 = 3. x = (7 ± 3) ÷ 2, donc x = 5 ou x = 2.
2Résoudre x² + 2x − 3 = 0.
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Δ = 2² − 4 × 1 × (−3) = 4 + 12 = 16. √16 = 4. x = (−2 ± 4) ÷ 2, donc x = 1 ou x = −3.
3Calculer le discriminant de 2x² + 3x − 2 = 0 et en déduire les solutions.
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Δ = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25. √25 = 5. x = (−3 ± 5) ÷ (2 × 2) = (−3 ± 5) ÷ 4, donc x = 0,5 ou x = −2.
4Montrer que x² + x + 1 = 0 n'a pas de solution réelle.
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a = 1, b = 1, c = 1. Δ = 1² − 4 × 1 × 1 = 1 − 4 = −3. Comme Δ < 0, l'équation n'a aucune solution réelle.
5Résoudre x² − 6x + 9 = 0.
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a = 1, b = −6, c = 9. Δ = (−6)² − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0. Δ = 0 : solution double x = 6 ÷ 2 = 3. Vérification : 9 − 18 + 9 = 0 ✓.
6Résoudre 3x² − 12x + 12 = 0.
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a = 3, b = −12, c = 12. Δ = (−12)² − 4 × 3 × 12 = 144 − 144 = 0. Solution double : x = 12 ÷ (2 × 3) = 2. Vérification : 3 × 4 − 24 + 12 = 0 ✓.
7Un rectangle a une longueur x et une largeur x − 2. Son aire est 24 cm². Trouver x (en prenant la solution positive).
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L'aire donne x(x − 2) = 24, soit x² − 2x − 24 = 0. Δ = (−2)² − 4 × 1 × (−24) = 4 + 96 = 100. √100 = 10. x = (2 ± 10) ÷ 2, donc x = 6 ou x = −4. Comme x > 0, on retient x = 6 cm (largeur = 4 cm, vérif : 6 × 4 = 24 ✓).
8Vrai ou faux ? Si Δ = 0, l'équation ax² + bx + c = 0 possède deux solutions distinctes.
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Faux. Si Δ = 0, l'équation possède une unique solution, appelée solution double : x = −b ÷ (2a).
9Quel est le discriminant de x² − 4x + 5 = 0 ? (A) −4 (B) 36 (C) 4
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a = 1, b = −4, c = 5. Δ = (−4)² − 4 × 1 × 5 = 16 − 20 = −4. Réponse : (A). Comme Δ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle.
10Résoudre x² + 4x − 5 = 0.
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a = 1, b = 4, c = −5. Δ = 4² − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36. √36 = 6. x = (−4 ± 6) ÷ 2, donc x = 1 ou x = −5. Vérification : 1 + 4 − 5 = 0 ✓ et 25 − 20 − 5 = 0 ✓.
11La hauteur (en mètres) d'une balle lancée vers le haut est h(t) = −5t² + 20t. À quel instant t > 0 la balle retombe-t-elle au sol ?
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On résout h(t) = 0 : −5t² + 20t = 0, soit −5t(t − 4) = 0. Donc t = 0 ou t = 4. La balle retombe au sol à t = 4 secondes.
12Résoudre 2x² − 8x + 6 = 0.
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a = 2, b = −8, c = 6. Δ = (−8)² − 4 × 2 × 6 = 64 − 48 = 16. √16 = 4. x = (8 ± 4) ÷ 4, donc x = 3 ou x = 1. Vérifications : 2(9) − 24 + 6 = 0 ✓ et 2(1) − 8 + 6 = 0 ✓.
13Résoudre x² − 3x − 4 = 0.
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a = 1, b = −3, c = −4. Δ = (−3)² − 4 × 1 × (−4) = 9 + 16 = 25. √25 = 5. x = (3 ± 5) ÷ 2, donc x = 4 ou x = −1. Vérifications : 16 − 12 − 4 = 0 ✓ et 1 + 3 − 4 = 0 ✓.
14Résoudre x² − 9 = 0.
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a = 1, b = 0, c = −9. Δ = 0 − 4 × 1 × (−9) = 36. √36 = 6. x = (0 ± 6) ÷ 2, donc x = 3 ou x = −3. On peut aussi factoriser directement : x² = 9, soit x = ±3.
15Résoudre 3x² − 5x + 2 = 0.
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a = 3, b = −5, c = 2. Δ = (−5)² − 4 × 3 × 2 = 25 − 24 = 1. √1 = 1. x = (5 ± 1) ÷ 6, donc x = 1 ou x = 2/3. Vérification : 3 − 5 + 2 = 0 ✓ et 3 × (4/9) − 5 × (2/3) + 2 = 4/3 − 10/3 + 6/3 = 0 ✓.
16Résoudre x² + 6x + 9 = 0.
Voir la correction
a = 1, b = 6, c = 9. Δ = 6² − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0. Solution double : x = −6 ÷ (2 × 1) = −3. Vérification : (−3)² + 6 × (−3) + 9 = 9 − 18 + 9 = 0 ✓.
17Vrai ou faux ? L'équation x² − 2x + 1 = 0 possède deux solutions distinctes.
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Faux. Δ = (−2)² − 4 × 1 × 1 = 4 − 4 = 0. Comme Δ = 0, l'équation n'a qu'une solution double : x = 2 ÷ 2 = 1.
18Les solutions de x² − x − 6 = 0 sont : (A) x = 3 ou x = −2 (B) x = 2 ou x = −3 (C) x = 6 ou x = 1
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Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−6) = 1 + 24 = 25. √25 = 5. x = (1 ± 5) ÷ 2, donc x = 3 ou x = −2. Vérification : 9 − 3 − 6 = 0 ✓ et 4 + 2 − 6 = 0 ✓. Réponse : (A).
19Résoudre 4x² − 4x + 1 = 0.
Voir la correction
a = 4, b = −4, c = 1. Δ = (−4)² − 4 × 4 × 1 = 16 − 16 = 0. Solution double : x = 4 ÷ (2 × 4) = 1/2. Vérification : 4 × (1/4) − 4 × (1/2) + 1 = 1 − 2 + 1 = 0 ✓.
20Résoudre x² + 8x + 12 = 0.
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a = 1, b = 8, c = 12. Δ = 8² − 4 × 1 × 12 = 64 − 48 = 16. √16 = 4. x = (−8 ± 4) ÷ 2, donc x = −2 ou x = −6. Vérifications : 4 − 16 + 12 = 0 ✓ et 36 − 48 + 12 = 0 ✓.
21L'équation x² + bx − 12 = 0 admet x = 3 comme solution. Trouver b. (À compléter.)
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On substitue x = 3 : 9 + 3b − 12 = 0, soit 3b = 3, donc b = 1. L'équation complète x² + x − 12 = 0 admet les solutions x = 3 et x = −4.
22La somme de deux nombres est 10 et leur produit est 21. Trouver ces deux nombres.
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Soit les deux nombres x et 10 − x. Leur produit donne x(10 − x) = 21, soit x² − 10x + 21 = 0. Δ = 100 − 84 = 16. √16 = 4. x = (10 ± 4) ÷ 2, donc x = 7 ou x = 3. Les deux nombres sont 7 et 3 (vérif : 7 + 3 = 10 ✓, 7 × 3 = 21 ✓).
23Résoudre x² + 5x − 6 = 0.
Voir la correction
a = 1, b = 5, c = −6. Δ = 5² − 4 × 1 × (−6) = 25 + 24 = 49. √49 = 7. x = (−5 ± 7) ÷ 2, donc x = 1 ou x = −6. Vérifications : 1 + 5 − 6 = 0 ✓ et 36 − 30 − 6 = 0 ✓.
24Résoudre 2x² + 7x + 3 = 0.
Voir la correction
a = 2, b = 7, c = 3. Δ = 7² − 4 × 2 × 3 = 49 − 24 = 25. √25 = 5. x = (−7 ± 5) ÷ 4, donc x = −1/2 ou x = −3. Vérifications : 2 × (1/4) + 7 × (−1/2) + 3 = 1/2 − 7/2 + 6/2 = 0 ✓ et 18 − 21 + 3 = 0 ✓.
25Un objet est lancé verticalement : sa hauteur est h(t) = −2t² + 12t (en mètres, t en secondes). À quel instant t > 0 retombe-t-il au sol ?
Voir la correction
On résout −2t² + 12t = 0. On factorise : −2t(t − 6) = 0. Donc t = 0 (départ) ou t = 6. L'objet retombe au sol à t = 6 secondes.

Questions fréquentes

On vous répond

À quoi sert le discriminant ?

Son signe indique le nombre de solutions : positif (2 solutions), nul (1 solution double), négatif (aucune solution réelle).

Quelle est la formule des solutions ?

Lorsque Δ ≥ 0, les solutions sont x = (−b + √Δ) ÷ (2a) et x = (−b − √Δ) ÷ (2a).

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