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1reTleAlgèbre et fonctions

Les suites numériques

Comprendre les suites arithmétiques et géométriques, calculer un terme. Méthode pour le parent et l'élève, exemples et exercices corrigés.

Leçon vérifiée et rédigée par Nadia Lefèvre · niveaux : 1re, Tle

Pour le parent

Comment accompagner votre enfant

Une suite est une liste ordonnée de nombres : u₀, u₁, u₂…. Chaque terme a un rang. On en distingue deux familles très utiles, repérables à la façon dont on passe d'un terme au suivant.

Suite arithmétique : on ajoute toujours le même nombre (la raison r). Terme général : uₙ = u₀ + n·r. Suite géométrique : on multiplie toujours par le même nombre (la raison q). Terme général : uₙ = u₀ × qⁿ.

Le réflexe : observer le passage d'un terme au suivant. « J'ajoute ? » → arithmétique. « Je multiplie ? » → géométrique. Le reste découle de la formule correspondante.

Pour l'enfant

Explication simple

Une suite est une liste de nombres qui se suivent selon une règle. Si on ajoute toujours le même nombre, elle est arithmétique : 3, 5, 7, 9… (on ajoute 2).

Si on multiplie toujours par le même nombre, elle est géométrique : 2, 6, 18, 54… (on multiplie par 3). Pour aller loin d'un coup, on utilise les formules uₙ = u₀ + n·r ou uₙ = u₀ × qⁿ.

On regarde ensemble

Deux exemples résolus

Exemple 1

Suite arithmétique

Soit u₀ = 3 et de raison r = 2. Calculer u₅.

  1. Formule : uₙ = u₀ + n·r = 3 + 2n.
  2. u₅ = 3 + 2 × 5 = 3 + 10.

Résultatu₅ = 13

Exemple 2

Suite géométrique

Soit u₀ = 2 et de raison q = 3. Calculer u₃.

  1. Formule : uₙ = u₀ × qⁿ = 2 × 3ⁿ.
  2. u₃ = 2 × 3³ = 2 × 27.

Résultatu₃ = 54

À toi de jouer

25 exercices corrigés

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  1. 1Suite arithmétique : u₀ = 5, raison r = 4. Calculer u₃.

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    u₃ = u₀ + 3r = 5 + 3 × 4 = 5 + 12 = 17.

  2. 2Suite géométrique : u₀ = 1, raison q = 2. Calculer u₄.

    Voir la correction
    u₄ = u₀ × q⁴ = 1 × 2⁴ = 16.

  3. 3Suite arithmétique : u₀ = 10, raison r = −3. Calculer u₄.

    Voir la correction
    u₄ = 10 + 4 × (−3) = 10 − 12 = −2.

  4. 4Suite géométrique : u₀ = 3, raison q = 2. Calculer u₅.

    Voir la correction
    u₅ = u₀ × q⁵ = 3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96.

  5. 5Les termes d'une suite sont 3, 6, 12, 24, 48. S'agit-il d'une suite arithmétique ou géométrique ? Quelle est la raison ?

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    On observe : 6 ÷ 3 = 2, 12 ÷ 6 = 2, 24 ÷ 12 = 2… On multiplie par 2 à chaque fois. C'est une suite géométrique de raison q = 2.

  6. 6Une suite arithmétique vérifie u₀ = 7 et u₃ = 16. Trouver la raison r.

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    On utilise u₃ = u₀ + 3r : 16 = 7 + 3r, donc 3r = 9, soit r = 3. Vérification : u₁ = 10, u₂ = 13, u₃ = 16 ✓.

  7. 7Un capital de 1 000 € est placé à intérêts composés au taux de 10 % par an. Le capital après n années est Cₙ = 1000 × 1,1ⁿ. Calculer C₃ (après 3 ans).

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    C₃ = 1000 × 1,1³ = 1000 × 1,331 = 1 331 €. Il s'agit d'une suite géométrique de raison 1,1.

  8. 8Vrai ou faux ? Dans la suite 4, 7, 10, 13, ... la raison est r = 7.

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    Faux. On passe d'un terme au suivant en ajoutant 3 (car 7 − 4 = 3, 10 − 7 = 3). La raison est r = 3.

  9. 9Suite arithmétique de premier terme u₀ = 2 et de raison r = 5. Quel est u₂ ? (A) 10 (B) 12 (C) 7

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    u₂ = u₀ + 2r = 2 + 2 × 5 = 2 + 10 = 12. Réponse : (B).

  10. 10Soit la suite arithmétique de terme général uₙ = 2n + 1. Calculer la somme u₀ + u₁ + u₂ + u₃.

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    u₀ = 1, u₁ = 3, u₂ = 5, u₃ = 7. Somme = 1 + 3 + 5 + 7 = 16.

  11. 11Suite géométrique : u₀ = 4, raison q = 3. Compléter : u₁ = ___, u₂ = ___, u₃ = ___.

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    u₁ = 4 × 3 = 12, u₂ = 12 × 3 = 36, u₃ = 36 × 3 = 108. On peut aussi utiliser la formule : uₙ = 4 × 3ⁿ.

  12. 12Suite arithmétique : u₀ = 100, raison r = −5. Calculer u₁₀.

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    u₁₀ = u₀ + 10r = 100 + 10 × (−5) = 100 − 50 = 50.

  13. 13Suite arithmétique : u₀ = 3, raison r = 7. Calculer u₅.

    Voir la correction
    u₅ = u₀ + 5r = 3 + 5 × 7 = 3 + 35 = 38.

  14. 14Suite géométrique : u₀ = 5, raison q = −1. Calculer u₃ et u₄.

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    u₃ = u₀ × q³ = 5 × (−1)³ = 5 × (−1) = −5. u₄ = u₀ × q⁴ = 5 × (−1)⁴ = 5 × 1 = 5. Les termes alternent entre 5 et −5.

  15. 15Les termes d'une suite sont 20, 17, 14, 11, …. S'agit-il d'une suite arithmétique ou géométrique ? Quelle est la raison ?

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    On observe : 17 − 20 = −3, 14 − 17 = −3… On soustrait 3 à chaque fois. C'est une suite arithmétique de raison r = −3.

  16. 16Suite géométrique : u₀ = 2, raison q = 5. Calculer u₃.

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    u₃ = u₀ × q³ = 2 × 5³ = 2 × 125 = 250.

  17. 17Vrai ou faux ? Dans une suite géométrique de raison q = 1, tous les termes sont égaux.

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    Vrai. uₙ = u₀ × 1ⁿ = u₀ pour tout entier n. Tous les termes sont égaux au premier terme u₀.

  18. 18Suite géométrique : u₀ = 3, raison q = 4. Quel est u₂ ? (A) 48 (B) 24 (C) 12

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    u₂ = u₀ × q² = 3 × 4² = 3 × 16 = 48. Réponse : (A).

  19. 19Suite arithmétique : u₀ = −5, raison r = 3. Calculer u₆.

    Voir la correction
    u₆ = u₀ + 6r = −5 + 6 × 3 = −5 + 18 = 13.

  20. 20Un artisan produit 50 pièces le premier jour (j = 0) et augmente sa production de 8 pièces par jour. Combien produit-il le septième jour (j = 6) ?

    Voir la correction
    La production forme une suite arithmétique : u₀ = 50, r = 8. u₆ = 50 + 6 × 8 = 50 + 48 = 98. L'artisan produit 98 pièces le septième jour.

  21. 21Donner le terme général uₙ d'une suite arithmétique telle que u₀ = 4 et r = −2.

    Voir la correction
    uₙ = u₀ + n × r = 4 + n × (−2) = 4 − 2n. Vérification : u₁ = 2, u₂ = 0, u₃ = −2 ✓.

  22. 22Suite arithmétique : u₀ = 1, raison r = 2. Calculer la somme S = u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + u₄.

    Voir la correction
    u₀ = 1, u₁ = 3, u₂ = 5, u₃ = 7, u₄ = 9. Somme S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

  23. 23Suite géométrique de raison q = 2 telle que u₃ = 24. Compléter : u₀ = ___.

    Voir la correction
    On a u₃ = u₀ × q³ = u₀ × 8 = 24, donc u₀ = 24 ÷ 8 = 3. Vérification : u₃ = 3 × 8 = 24 ✓.

  24. 24Une suite vérifie u₀ = 6 et uₙ₊₁ = uₙ ÷ 2. Calculer u₁, u₂, u₃ et identifier le type de suite.

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    u₁ = 6 ÷ 2 = 3, u₂ = 3 ÷ 2 = 3/2, u₃ = (3/2) ÷ 2 = 3/4. On divise par 2 (c'est-à-dire on multiplie par 1/2) à chaque fois : c'est une suite géométrique de raison q = 1/2.

  25. 25Une bactérie se divise en deux toutes les heures. On part de 100 bactéries. Combien y en a-t-il après 5 heures ?

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    La population forme une suite géométrique : u₀ = 100, q = 2. u₅ = 100 × 2⁵ = 100 × 32 = 3 200. Il y a 3 200 bactéries après 5 heures.

Questions fréquentes

On vous répond

Comment distinguer une suite arithmétique d'une suite géométrique ?
Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre. Dans une suite géométrique, on multiplie toujours par le même nombre.
Comment calculer un terme lointain sans tout dérouler ?
On utilise le terme général : uₙ = u₀ + n·r (arithmétique) ou uₙ = u₀ × qⁿ (géométrique).

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