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3eGéométrie

Le théorème de Thalès

Utiliser le théorème de Thalès pour calculer une longueur grâce aux droites parallèles. Méthode parent et enfant, exercices corrigés.

Leçon vérifiée et rédigée par Nadia Lefèvre · niveaux : 3e

Pour le parent

Comment accompagner votre enfant

Le théorème de Thalès traite des agrandissements : quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, elles découpent des longueurs proportionnelles. C'est de la proportionnalité appliquée à la géométrie.

Configuration de base : un triangle ABC avec un point D sur [AB] et E sur [AC], et (DE) parallèle à (BC). Alors les rapports sont égaux : AD/AB = AE/AC = DE/BC.

La méthode : écrire l'égalité des trois rapports, repérer celui qu'on connaît entièrement et celui où figure l'inconnue, puis résoudre par produit en croix. La rigueur dans l'écriture des rapports évite presque toutes les erreurs.

Pour l'enfant

Explication simple

Quand deux droites sont parallèles dans un triangle, elles créent un petit triangle qui est une réduction du grand. Les longueurs se correspondent dans les mêmes proportions.

On écrit l'égalité AD/AB = AE/AC = DE/BC, puis on remplace par les nombres connus et on calcule la longueur manquante avec le produit en croix.

On regarde ensemble

Deux exemples résolus

Exemple 1

Calculer une longueur sur un côté

(DE) est parallèle à (BC). AD = 2, AB = 5, AC = 10. Calculer AE.

  1. Égalité de Thalès : AD/AB = AE/AC, soit 2/5 = AE/10.
  2. Produit en croix : AE = (2 × 10) ÷ 5 = 20 ÷ 5.

RésultatAE = 4

Exemple 2

Calculer la base du petit triangle

(DE) parallèle à (BC). AD = 3, AB = 4, BC = 8. Calculer DE.

  1. Égalité : AD/AB = DE/BC, soit 3/4 = DE/8.
  2. Produit en croix : DE = (3 × 8) ÷ 4 = 24 ÷ 4.

RésultatDE = 6

À toi de jouer

25 exercices corrigés

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  1. 1(DE) parallèle à (BC). AD = 4, AB = 6, AC = 9. Calculer AE.

    Voir la correction
    AD/AB = AE/AC → 4/6 = AE/9 → AE = (4 × 9) ÷ 6 = 36 ÷ 6 = 6.

  2. 2(DE) parallèle à (BC). AD = 2, AB = 5, BC = 10. Calculer DE.

    Voir la correction
    AD/AB = DE/BC → 2/5 = DE/10 → DE = (2 × 10) ÷ 5 = 4.

  3. 3(DE) parallèle à (BC). AD = 3, AB = 5, AE = 6. Calculer AC.

    Voir la correction
    AD/AB = AE/AC → 3/5 = 6/AC → AC = (6 × 5) ÷ 3 = 30 ÷ 3 = 10.

  4. 4(DE) parallèle à (BC). AD = 3, AB = 9, AC = 12. Calculer AE.

    Voir la correction
    AD/AB = AE/AC → 3/9 = AE/12 → AE = (3 × 12) ÷ 9 = 36 ÷ 9 = 4.

  5. 5(DE) parallèle à (BC). AD = 5, AB = 10, DE = 3. Calculer BC.

    Voir la correction
    AD/AB = DE/BC → 5/10 = 3/BC → BC = (3 × 10) ÷ 5 = 30 ÷ 5 = 6.

  6. 6(DE) parallèle à (BC). AD = 4, AE = 6, AC = 9. Calculer AB.

    Voir la correction
    AD/AB = AE/AC → 4/AB = 6/9 → AB = (4 × 9) ÷ 6 = 36 ÷ 6 = 6.

  7. 7(DE) parallèle à (BC). AD = 6, AB = 10, BC = 15. Calculer DE.

    Voir la correction
    AD/AB = DE/BC → 6/10 = DE/15 → DE = (6 × 15) ÷ 10 = 90 ÷ 10 = 9.

  8. 8(DE) parallèle à (BC). AD = 2, AB = 6, AE = 3, AC = 9. Vérifie que les rapports AD/AB et AE/AC sont bien égaux.

    Voir la correction
    AD/AB = 2/6 = 1/3 et AE/AC = 3/9 = 1/3. Les deux rapports sont égaux : cela confirme que (DE) est bien parallèle à (BC). ✔

  9. 9Un poteau de 4 m projette une ombre de 6 m. Sous le même éclairage, un arbre voisin projette une ombre de 9 m. Calculer la hauteur de l'arbre.

    Voir la correction
    Par Thalès (triangles semblables) : hauteur_arbre / 4 = 9 / 6 → hauteur_arbre = (4 × 9) ÷ 6 = 36 ÷ 6 = 6 m.

  10. 10(DE) parallèle à (BC). AE = 4, EC = 8, DE = 3. Calculer BC.

    Voir la correction
    D'abord AC = AE + EC = 4 + 8 = 12. Puis AE/AC = DE/BC → 4/12 = 3/BC → BC = (3 × 12) ÷ 4 = 36 ÷ 4 = 9.

  11. 11(DE) parallèle à (BC). AD = 6, DB = 3, AE = 8. Calculer EC.

    Voir la correction
    AB = AD + DB = 6 + 3 = 9. Par Thalès : AD/AB = AE/AC → 6/9 = 8/AC → AC = (8 × 9) ÷ 6 = 72 ÷ 6 = 12. Donc EC = AC − AE = 12 − 8 = 4.

  12. 12(DE) parallèle à (BC). AD = 3, AB = 7, BC = 14. Calculer DE.

    Voir la correction
    AD/AB = DE/BC → 3/7 = DE/14 → DE = (3 × 14) ÷ 7 = 42 ÷ 7 = 6.

  13. 13(DE) parallèle à (BC). AD = 5, AB = 8, AE = 10. Calculer AC.

    Voir la correction
    AD/AB = AE/AC → 5/8 = 10/AC → AC = (10 × 8) ÷ 5 = 80 ÷ 5 = 16.

  14. 14(DE) parallèle à (BC). AD = 3, DB = 6, DE = 4. Calculer BC.

    Voir la correction
    AB = AD + DB = 3 + 6 = 9. AD/AB = DE/BC → 3/9 = 4/BC → BC = (4 × 9) ÷ 3 = 36 ÷ 3 = 12.

  15. 15(DE) parallèle à (BC). AD = 5, AB = 15, AE = 3. Calculer AC.

    Voir la correction
    AD/AB = AE/AC → 5/15 = 3/AC → AC = (3 × 15) ÷ 5 = 45 ÷ 5 = 9.

  16. 16Vrai ou faux : si AD/AB = 3/5 et AE/AC = 6/10, alors (DE) est parallèle à (BC).

    Voir la correction
    Vrai. 3/5 = 0,6 et 6/10 = 0,6. Les deux rapports sont égaux, donc la réciproque de Thalès confirme que (DE) est parallèle à (BC). ✔

  17. 17Un bâton de 1 m projette une ombre de 2 m. Sous le même éclairage, un arbre voisin projette une ombre de 8 m. Calculer la hauteur de l'arbre.

    Voir la correction
    Par Thalès (triangles semblables) : hauteur_arbre / 1 = 8 / 2 → hauteur_arbre = (1 × 8) ÷ 2 = 4 m.

  18. 18(DE) parallèle à (BC). AD = 8, AB = 12, DE = 6. Calculer BC.

    Voir la correction
    AD/AB = DE/BC → 8/12 = 6/BC → BC = (6 × 12) ÷ 8 = 72 ÷ 8 = 9.

  19. 19(DE) parallèle à (BC). AE = 5, EC = 10, BC = 9. Calculer DE.

    Voir la correction
    AC = AE + EC = 5 + 10 = 15. AE/AC = DE/BC → 5/15 = DE/9 → DE = (5 × 9) ÷ 15 = 45 ÷ 15 = 3.

  20. 20(DE) parallèle à (BC). AD = 4, AB = 10, BC = 20. Calculer DE.

    Voir la correction
    AD/AB = DE/BC → 4/10 = DE/20 → DE = (4 × 20) ÷ 10 = 80 ÷ 10 = 8.

  21. 21(DE) parallèle à (BC). AD = 7, DB = 3, AE = 14. Calculer EC.

    Voir la correction
    AB = AD + DB = 7 + 3 = 10. AD/AB = AE/AC → 7/10 = 14/AC → AC = (14 × 10) ÷ 7 = 140 ÷ 7 = 20. Donc EC = AC − AE = 20 − 14 = 6.

  22. 22QCM : (DE) parallèle à (BC). AD = 2, AB = 6. Le rapport AD/AB vaut : A : 1/3, B : 1/2, C : 2/3.

    Voir la correction
    AD/AB = 2/6 = 1/3. Réponse A.

  23. 23Un observateur mesure 1,6 m de hauteur. Il se place à 4 m d'un miroir posé au sol. Le miroir est à 20 m de la base d'un immeuble. Calculer la hauteur de l'immeuble par Thalès.

    Voir la correction
    hauteur_immeuble / 1,6 = 20 / 4 → hauteur_immeuble = (1,6 × 20) ÷ 4 = 32 ÷ 4 = 8 m.

  24. 24(DE) parallèle à (BC). DE = 5, BC = 10, AE = 6. Calculer AC.

    Voir la correction
    DE/BC = AE/AC → 5/10 = 6/AC → AC = (6 × 10) ÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12.

  25. 25(DE) parallèle à (BC). AD = 9, AB = 12, DE = 6. Calculer BC.

    Voir la correction
    AD/AB = DE/BC → 9/12 = 6/BC → BC = (6 × 12) ÷ 9 = 72 ÷ 9 = 8.

Questions fréquentes

On vous répond

Quelle condition pour appliquer Thalès ?
Il faut deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes (en configuration triangle, (DE) parallèle à (BC)).
Comment trouver la longueur manquante ?
On écrit l'égalité des rapports, on isole les deux rapports utiles, puis on applique le produit en croix.

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